Question

13．已知函数f（x）=|3x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4-|x-1|；
（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x-a|-f（x）≤$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$≥4，结合题意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4-|x-1|，即|3x+2|+|x-1|＜4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{2}{3}}\\{-3x-2-x+1＜4}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}≤x＜1}\\{3x+2+1-x＜4}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{3x+2+x-1＜4}\end{array}\right.$③．
解①求得-$\frac{5}{4}$＜x＜-$\frac{2}{3}$，解②求得-$\frac{2}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$，解③求得x∈∅．
综上可得，不等式的解集为（-$\frac{5}{4}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=2+$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥2+2=4，当且仅当m=n=$\frac{1}{2}$时，取等号．
再根据|x-a|-f（x）≤$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$（a＞0）恒成立，可得|x-a|-f（x）≤4，即|x-a|-|3x+2|≤4．
设g（x）=|x-a|-|3x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x+2+a，x＜-\frac{2}{3}}\\{-4x+2+a，-\frac{2}{3}≤x≤a}\\{-2x-2-a，x＞a}\end{array}\right.$，故函数g（x）的最大值为g（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{3}$+a，
再由$\frac{2}{3}$+a≤4，求得 0＜a≤$\frac{10}{3}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．