Question

18．（1）已知函数f（x）=|x-1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；
（2）若x，y，z∈R，x²+y²+z²=1，求m=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y+$\sqrt{5}$z的最大值．

Answer 1

分析 （1）去绝对值号可得f（x）=|x-1|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2，x＜-3}\\{4，-3≤x≤1}\\{2x+2，x＞1}\end{array}\right.$，从而确定使f（x）为常函数时x的取值范围；
（2）由柯西不等式可得（x²+y²+z²）（${\sqrt{2}}^{2}$+${\sqrt{2}}^{2}$+${\sqrt{5}}^{2}$）≥（$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y+$\sqrt{5}$z）²；从而解得．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2，x＜-3}\\{4，-3≤x≤1}\\{2x+2，x＞1}\end{array}\right.$，
故当x∈[-3，1]时，f（x）为常数函数；
（2）由柯西不等式可得，
（x²+y²+z²）（${\sqrt{2}}^{2}$+${\sqrt{2}}^{2}$+${\sqrt{5}}^{2}$）≥（$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y+$\sqrt{5}$z）²；
即（$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y+$\sqrt{5}$z）²≤9；
故$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y+$\sqrt{5}$z≤3；
故m=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y+$\sqrt{5}$z的最大值为3．

点评 本题考查了绝对值函数的化简与应用及柯西不等式的应用，属于中档题．