Question

5．设函数f（x）=|2x+6|-|x-4|
（Ⅰ）解不等式f（x）＞3；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由绝对值的含义对x讨论，x＜-3，-3≤x≤4，x＞4，去掉绝对值解一次不等式，再求并集即可得到解集；
（Ⅱ）对x讨论，x＜-3，-3≤x≤4，x＞4，求得f（x）的取值范围，再求并集，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）原不等式等价于不等式组$\left\{\begin{array}{l}x＜-3\\-2x-6+x-4＞3\end{array}\right.$⇒x＜-13；
或$\left\{\begin{array}{l}{-3≤x≤4}\\{2x+6+x-4＞3}\end{array}\right.$⇒$\frac{1}{3}$＜x≤4；
或$\left\{\begin{array}{l}x＞4\\ 2x+6-x+4＞3\end{array}\right.$⇒x＞4．
解得x＜-13或$x＞\frac{1}{3}$，
则解集为（-∞，-13）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x＜-3时，f（x）=-x-10，即有f（x）＞-7；
当-3≤x≤4，f（x）=3x+2，即有-7≤f（x）≤14；
当x≥4时，f（x）=x+10，即有f（x）≥14．
即函数y=f（x）的值域为[-7，+∞）．
则有当x=-3时，f（x）有最小值-7．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法，考查函数的最值的求法，属于中档题．