Question

17．（1）设函数$f（x）=|\frac{1}{2}x+1|+|x|（x∈R）$，求f（x）的最小值，
（2）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a²+b²+c²的最小值．

Answer 1

分析 （1）写出分段函数$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}x-1，x＜-2}\\{-\frac{1}{2}x+1，-2≤x≤0}\\{\frac{3}{2}x+1，x＞0}\end{array}\right.$，确定函数的单调性，可得函数f（x）的最小值；
（2）由柯西不等式（a²+b²+c²）（1²+2²+3²）≥（a+2b+3c）²=1，可得a²+b²+c²的最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}x-1，x＜-2}\\{-\frac{1}{2}x+1，-2≤x≤0}\\{\frac{3}{2}x+1，x＞0}\end{array}\right.$，
当x∈（-∞，0]时，f（x）单调递减，
当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，
所以当x=0时，f（x）的最小值m=1． …（5分）
（2）由柯西不等式（a²+b²+c²）（1²+2²+3²）≥（a+2b+c）²=1，
故a²+b²+c²≥$\frac{1}{14}$，当且仅当a=$\frac{1}{14}$，b=$\frac{1}{7}$，c-$\frac{3}{14}$时取等号
∴a²+b²+c²的最小值为$\frac{1}{14}$．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查二维形式的柯西不等式，属于中档题．