Question

4．设直线l：y=kx+1经过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F，则p=2；已知Q，M分别是抛物线及其准线上的点，若$\overrightarrow{MQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，则|MF|=4．

Answer 1

分析 由直线方程求出直线所过定点的坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，则p可求；作出抛物线图形，数形结合得到|MF|=2p，则答案可求．

解答 解：∵直线l：y=kx+1过定点（0，1），即抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F为（0，1），
∴$\frac{p}{2}=1$，则p=2；
则抛物线方程为x²=4y，如图，

∵$\overrightarrow{MQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，
∴|MQ|=2|QE|，则∠EMQ=30°，
∴|MF|=2p=4．
故答案为：2；4．

点评 本题考查了抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．