Question

12．已知函数f（x）=-2^x-1+$\frac{1}{{{2^{x+1}}}}$，g（x）=x³-3x，那么函数y=f（g（x））是（　　）

• A． 奇函数，且在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
• B． 奇函数，且在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数
• C． 偶函数，且在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
• D． 偶函数，且在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．

解答 解：f（x）=-2^x-1+$\frac{1}{{{2^{x+1}}}}$=-$\frac{{2}^{x}}{2}+\frac{{2}^{-x}}{2}$，
则f（-x）=$-\frac{{2}^{-x}}{2}+\frac{{2}^{x}}{2}$=-（-$\frac{{2}^{x}}{2}+\frac{{2}^{-x}}{2}$）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，
则f（g（-x））=f（-g（x））=-f（g（x）），
故函数y=f（g（x））是奇函数．
函数g′（x）=3x²-3=3（x²-1），
当x＞1时，g′（x）＞0，则g（x）为增函数，且g（x）＞g（1）=-2，
∵f（x）为减函数，
∴此时函数y=f（g（x））在（1，+∞）上是减函数，
同理函数y=f（g（x））在（0，1）上是增函数，
故选：A．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．