Question

4．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．
（Ⅰ）证明：AG⊥CD；
（Ⅱ）若点M在线段AC上，且$\frac{AM}{MC}=\frac{1}{3}$，求证：GM∥平面ABF；
（Ⅲ）已知空间中有一点O到A，B，C，D，G五点的距离相等，请指出点O的位置．（只需写出结论）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等腰三角形AG⊥EF．推证 AG⊥AD，AG⊥平面ABCD，线面的转化 AG⊥CD．
（Ⅱ）根据中点推证GF∥MN，GF=MN．四边形GFNM是平行四边形． 由直线平面平行的判定定理推证GM∥平面ABF；
（Ⅲ）根据中点与平行的关系得出点O为线段GC的中点．

解答 （Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，
所以 AG⊥EF．
又因为 EF∥AD，
所以 AG⊥AD．
因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG?平面ADEF，
所以 AG⊥平面ABCD．
因为 CD?平面ABCD，
所以 AG⊥CD．
（Ⅱ）证明：如图，过点M作MN∥BC，且交AB于点N，连结NF，
因为 $\frac{AM}{MC}=\frac{1}{3}$，所以$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{4}$，
因为 BC=2EF，点G是EF的中点，
所以 BC=4GF，
又因为 EF∥AD，四边形ABCD为正方形，
所以 GF∥MN，GF=MN．
所以四边形GFNM是平行四边形．
所以 GM∥FN．
又因为GM?平面ABF，FN?平面ABF，
所以 GM∥平面ABF．
（Ⅲ）解：点O为线段GC的中点．

点评 本题考查了空间几何体的性质，空间直线的位置关系，直线平面的平行关系，掌握好定理，转化直线的为关系判断即可．