Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（{α为参数}）$．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=2$．
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过两角和与差的三角函数化简已知条件，然后求解直线l的直角坐标方程．
（2）设点P的坐标为（2cosα，sinα），利用P到直线l的距离公式得到表达式，然后求解最值．

解答 解：（1）$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=2$化简为$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ+4=0$，
∴直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x-y+4=0$；   …（4分）
（12）设点P的坐标为（2cosα，sinα），
得P到直线l的距离$d=\frac{{|{2\sqrt{3}cosα-sinα+4}|}}{2}$，…（6分）
即$d=\frac{{|{\sqrt{13}cos（{α+φ}）+4}|}}{2}$，其中$cosφ=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{13}}}，sinφ=\frac{1}{{\sqrt{13}}}$．
当sin（α+φ）=1时，${d_{max}}=\frac{1}{2}\sqrt{13}+2$．  …（10分）．

点评 本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用．考查计算能力．