Question

20．已知f（x）=|x-2|+x²，g（x）=x²-|x-a|+a（a∈R）．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）转化不等式|x-2|+x²≤4为不等式组解集，求解即可．
（II）转化不等式f（x）≥g（x）为不等式f（x）≤g（x）恒成立，推出|a-2|≥a，即可求解a的取值范围．

解答 解：（I）不等式|x-2|+x²≤4的解集是以下2个不等式组解集的并集：$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\{x^2}+x-6≤0\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x＜2\\{x^2}-x-2≤0\end{array}\right.$，
∴不等式f（x）≤4解集是{x|-1≤x≤2}；…（5分）
（II）不等式f（x）≥g（x）即|x-2|+|x-a|≥a
∵|x-2|+|x-a|=|x-2|+|a-x|≥|a-2|，
∴若不等式f（x）≤g（x）恒成立，则|a-2|≥a，
解得a的取值范围是{a|a≤1}．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立的应用，考查计算能力，转化思想的应用．