Question

16．已知函数f（x）=x²-cosx，若当-π＜x＜π时，f（x₁）＜f（x₂）恒成立，则下列结论一定成立的是（　　）

• A． x₁＞x₂
• B． x₁＜x₂
• C． x₁²＜x₂²
• D． |x₁|＞|x₂|

Answer 1

分析 先研究函数的性质，观察知函数是个偶函数，由于f′（x）=2x+sinx，在[0，π]上f′（x）＞0，当-π＜x＜0时，f'（x）＜0，可推断出当f（x₁）＜f（x₂）时，得f（|x₁|）＜f（|x₂|），从而得解．

解答 解：∵f（x）是偶函数，
又∵f'（x）=2x+sinx，
∴当0＜x＜π时，f'（x）＞0，f（x）单调增；
∴当-π＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调减；
所以当f（x₁）＜f（x₂）时，得f（|x₁|）＜f（|x₂|）
所以x₁²＜x₂²．
故选：C．

点评 本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，属于中档题．