Question

11．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b，c∈R）
（1）已知a=2，f（2）=2，若f（x）≥2对x∈R恒成立，求f（x）的表达式；
（2）已知方程f（x）=0的两实根x₁，x₂，满足x₁＜$\frac{1}{a}$＜x₂，设f（x）在R上的最小值为m，求证：m＜x₁．

Answer 1

分析 （1）判断f（x）在x=2时，取最小值2，运用二次函数的顶点式 求解函数解析式．
（2）根据题目条件，设f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），m=f（x）_min=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-$\frac{a}{4}$（x₂-x₁）²，
配方放缩得出m=-$\frac{a}{4}$（x₂-x₁）²＜$-\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$-x₁）²＜$-\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$+x₁）²+x₁＜x₁，可以证明问题．

解答 解：（1）由f（x）≥f（2）≥2，又知f（x）在x=2时，取最小值2，
∴f（x）=2（x-2）²+2，即f（x）=2x²-8x+10．
（2）∵方程f（x）=0的两实根x₁，x₂，
设f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
所以m=f（x）_min=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-$\frac{a}{4}$（x₂-x₁）²
由x₁$＜\frac{1}{a}$＜x₂，得x₂-x₁$＞\frac{1}{a}$-x₁＞0²=$-\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$+x₁），又a＞0，
∴m=-$\frac{a}{4}$（x₂-x₁）²＜$-\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$-x₁）²＜$-\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$+x₁）²+x₁＜x₁

点评 本题考查了函数的性质，方程的根与对应的二次函数性质得出函数最值，运用证明问题，注意放缩的运用，难度较大，属于中档题．