Question

6．已知F₁、F₂分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点且$\frac{{|P{F_1}{|^2}}}{{|P{F_2}|}}=8a$，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，2]
• B． [2+∞）
• C． （1，3]
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 化简$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（2a+|P{F}_{2}|）^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{4{a}^{2}}{|P{F}_{2}|}$+4a+|PF₂|，利用基本不等式，再利用焦半径公式，即可求出双曲线离心率的取值范围．

解答 解：由定义知：|PF₁|-|PF₂|=2a，所以|PF₁|=2a+|PF₂|，
所以$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（2a+|P{F}_{2}|）^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{4{a}^{2}}{|P{F}_{2}|}$+4a+|PF₂|≥8a，
当且仅当$\frac{4{a}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=|PF₂|，即|PF₂|=2a时取得等号
设P（x₀，y₀） （x₀≤-a）
由焦半径公式得：|PF₂|=-ex₀-a=2a
所以ex₀=-3a
所以e=-$\frac{3a}{{x}_{0}}$≤3
又双曲线的离心率e＞1
所以e∈（1，3]
故选：C．

点评 本题考查双曲线离心率的取值范围，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．