Question

14．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁、F₂，若C上存在一点P，使得|PF₁|=2|PF₂|，则C的离心率的范围是$[\frac{1}{3}，1）$．

Answer 1

分析 设P点的横坐标为x，根据|PF₁|=2|PF₂|，利用椭圆的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．

解答 解：设P点的横坐标为x
∵|PF₁|=2|PF₂|，
∴根据椭圆的第二定义，可得a+ex=2（a-ex）
∴3ex=a
∵x≤a，∴ex≤ea
∴$\frac{1}{3}$a≤ea，∴e≥$\frac{1}{3}$
∵0＜e＜1，∴e∈$[\frac{1}{3}，1）$．
故答案为：$[\frac{1}{3}，1）$．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了椭圆的第二定义的灵活运用，属于基础题．