Question

18．已知函数f（x）对任意x，满足f（x）=sinx+2f（$\frac{π}{2}$-x），则f（$\frac{5π}{4}$）=（　　）

• A． -$\sqrt{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意知f（$\frac{5π}{4}$）=sin$\frac{5π}{4}$+2f（-$\frac{3}{4}$π），f（-$\frac{3}{4}$π）=sin（-$\frac{3}{4}$π）+2f（$\frac{5π}{4}$）；联立方程可求解．

解答 解：∵f（x）=sinx+2f（$\frac{π}{2}$-x），
∴f（$\frac{5π}{4}$）=sin$\frac{5π}{4}$+2f（-$\frac{3}{4}$π），
f（-$\frac{3}{4}$π）=sin（-$\frac{3}{4}$π）+2f（$\frac{5π}{4}$）；
联立化简可得，
f（$\frac{5π}{4}$）=sin$\frac{5π}{4}$+2（sin（-$\frac{3}{4}$π）+2f（$\frac{5π}{4}$））；
f（$\frac{5π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+4f（$\frac{5π}{4}$）；
故f（$\frac{5π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故选C．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值，属于基础题．