Question

17．已知a＞0，g（x）是函数f（x）=（x-a）lnx+$\frac{x-1}{ax}$的导函数．
（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当a＞1时，求证：函数g（x）在x∈[1，+∞）是单调递增函数；
（Ⅲ）若存在x₀∈[1，+∞），使得不等式f（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）a=1时，化简函数g（x），求出函数的导数，由g′（x）＜0，求解可得函数g（x）的单调递减区间．
（II）求出函数的导数，通过a＞1时，判断g′（x）≥g′（1）＞0，恒成立，即可证明函数g（x）在x∈[1，+∞）是单调递增函数．
（III）当0＜a≤1时，不存在x₀∈[1，+∞），使得不等式f（x₀）＜0成立，当a＞1时，函数f′（x）在x∈[1，+∞）是单调递增函数，讨论f′（1）≥0，f（x）≥f（1）≥0，推出不存在x₀∈[1，+∞），使得不等式f（x₀）＜0成立；若f′（1）＜0，推出f（x）≤f（1）=0，说明存在x₀∈[1，m），使得不等式f（x₀）＜0，求解实数a的取值范围．

解答 解：（I）$g（x）=lnx+\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x^2}$，$g'（x）=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^3}$，…（2分）
由g′（x）＜0得函数g（x）的单调递减区间是（0，1）；…（4分）
（II）$g（x）=lnx+\frac{x-a}{x}+\frac{1}{{a{x^2}}}$，$g'（x）=\frac{{a{x^2}+{a^2}x-2}}{{a{x^3}}}$，
当a＞1时，$g'（1）=\frac{（a+2）（a-1）}{{a{x^3}}}＞0$，
∵二次函数y=ax²+a²x-2在x∈[1，+∞）是增函数，
∴g′（x）≥g′（1）＞0，
∴函数g（x）在x∈[1，+∞）是单调递增函数；…（8分）
（III）当0＜a≤1时，f′（x）＞0，f（x）在x∈[1，+∞）是增函数，f（x）≥f（1）=0，
不存在x₀∈[1，+∞），使得不等式f（x₀）＜0成立；…（10分）
当a＞1时，函数f′（x）在x∈[1，+∞）是单调递增函数，
若f′（1）≥0，即$1＜a≤\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$，
则f′（x）≥f′（1）≥0，f（x）在x∈[1，+∞）是增函数，f（x）≥f（1）≥0，
也不存在x₀∈[1，+∞），使得不等式f（x₀）＜0成立；
若f′（1）＜0，即$a＞\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$，则存在m∈[1，+∞），
当x∈[1，m）时，f′（x）＜0，f（x）在x∈[1，m）是减函数，f（x）≤f（1）=0
此时存在x₀∈[1，m），使得不等式f（x₀）＜0成立，
综上，实数a的取值范围是$（\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}，+∞）$．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力．