Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（x+1），-1＜x＜1}\\{f（2-x）+a-1，1＜x＜3}\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），则x₁+x₂与2的大小关系是（　　）

• A． 恒大于2
• B． 恒小于2
• C． 恒等于2
• D． 与a相关．

Answer 1

分析 若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=t，不妨令-1＜x₁＜1＜x₂＜3，则-1＜2-x₂＜1，代入分段函数解析式，求得x₁+x₂，再讨论0＜a＜1和a＞1，运用指数函数的单调性即可得到结论．

解答 解：若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=t，
不妨令-1＜x₁＜1＜x₂＜3，则-1＜2-x₂＜1，
则log_a（x₁+1）=t，则x₁=a^t-1，
且log_a（3-x₂）+a-1=t，则x₂=3-a^t+1-a，
则x₁+x₂=2+（a^t-a^t+1-a）
由a＞0且a≠1，
当0＜a＜1时，y=a^x为减函数，且t＜t+1-a，
则a^t＞a^t+1-a，此时x₁+x₂＞2；
当a＞1时，y=a^x为增函数，且t＞t+1-a，
则a^t＞a^t+1-a，此时x₁+x₂＞2；
故x₁+x₂的值恒大于2．
故选：A．

点评 本题考查分段函数及运用，主要考查指数函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．