Question

15．已知圆C：x²+y²=25和两点A（3，4），B（-1，2），则直线AB与圆C的位置关系为相交，若点P在圆C上，且S_△ABP=$\frac{5}{2}$，则满足条件的P点共有4个．

Answer 1

分析 求出直线AB的斜率和点斜式方程，求得圆心到直线AB的距离，与半径比较即可判断AB与圆C的关系；求出AB的长，运用三角形的面积公式，求得P到直线AB的距离，即可判断P的个数．

解答 解：直线AB的斜率为k=$\frac{4-2}{3+1}$=$\frac{1}{2}$，
即有AB：y-4=$\frac{1}{2}$（x-3），即为
x-2y+5=0，
圆心C（0，0）到直线AB的距离为$\frac{|0-0+5|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\sqrt{5}$＜5，
则直线AB和圆C相交；
由于|AB|=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
S_△ABP=$\frac{5}{2}$，则$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{5}$d=$\frac{5}{2}$，
即有d=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，即P到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
而C到直线AB的距离为$\sqrt{5}$＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
且5-$\sqrt{5}$＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即有在直线AB的两侧均有两点到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
则满足条件的P点共有4个．
故答案为：相交；4．

点评 本题考查直线和圆的位置关系的判断，同时考查点到直线的距离公式和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．