Question

9．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设一渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，则F₂H的方程为y-0=k（x-c），代入渐近线方程 求得H的坐标，有中点公式求得中点M的坐标，再把点M的坐标代入双曲线求得离心率．

解答 解：由题意可知，一渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，则F₂H的方程为 y-0=k（x-c），
代入渐近线方程 y=$\frac{b}{a}$x，可得H的坐标为（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
故F₂H的中点M（$\frac{c+\frac{{a}^{2}}{c}}{2}$，$\frac{ab}{2c}$），
根据中点M在双曲线C上，
∴$\frac{（\frac{{a}^{2}}{c}+c）^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{4{b}^{2}{c}^{2}}$=1，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=2，故e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．