Question

10．已知数列{a_n}满足log₃a_n+1=log₃a_n+1（n∈N），且a₂+a₄+a₆=9，则log_b（a₅+a₇+a₉）的值等于5．

Answer 1

分析 由数列递推式可得数列{log₃a_n}为以log₃a₁为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后进一步得到数列{a_n}是以a₁为首项，以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得log₃（a₅+a₇+a₉）的值．

解答 解：∵log₃a_n+1=log₃a_n+1（n∈N），
∴log₃a_n+1-log₃a_n=1，则数列{log₃a_n}为以log₃a₁为首项，以1为公差的等差数列，
∴log₃a_n=log₃a₁+（n-1）=$lo{g}_{3}{a}_{1}•{3}^{n-1}$，
则${a}_{n}={a}_{1}•{3}^{n-1}$，即数列{a_n}是以a₁为首项，以3为公比的等比数列，
又a₂+a₄+a₆=9，∴a₅+a₇+a₉=9×3³=3⁵，
∴log₃（a₅+a₇+a₉）=$lo{g}_{3}{3}^{5}=5$．
故答案为：5．

点评 本题考查了数列递推式，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题．