Question

13．设函数y=f（x）由方程$\frac{x•|x|}{16}$-$\frac{y•|y|}{9}$=1确定，下列结论正确的是（1）（2）（4）．（请将你认为正确的序号都填上）
（1）f（x）是R上的单调递增函数；
（2）不等式f（x）=$\frac{3}{4}$x＜0的解集为R；
（3）方程f（x）+$\frac{3}{4}$x-3=0恒有两解；
（4）f（x）存在反函数f^-1（x），且反函数f^-1（x）由方程$\frac{y•|y|}{16}$-$\frac{x•|x|}{9}$=1确定．

Answer 1

分析 由方程$\frac{x•|x|}{16}$-$\frac{y•|y|}{9}$=1，对x，y分类讨论，画出其图象，利用椭圆与双曲线的性质即可判断出．

解答 解：方程$\frac{x•|x|}{16}$-$\frac{y•|y|}{9}$=1，
当x≥0，y≥0时，化为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$；当x≥0，y＜0时，化为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
当x＜0，y＞0时，化为-$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；当x＜0，y＜0时，化为-$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．画出图象．
由图象可知：（1）正确；
（2）∵$y=\frac{3}{4}x$为双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$；及-$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的渐近线，因此不等式f（x）-$\frac{3}{4}$x＜0的解集为R，正确；
（3）方程f（x）+$\frac{3}{4}$x-3=0恒有一解，因此不正确；
（4）由（1）可知f（x）是R上的单调递增函数，因此f（x）存在反函数f^-1（x），且反函数f^-1（x）由方程$\frac{y•|y|}{16}$-$\frac{x•|x|}{9}$=1确定，正确．
故答案为：（1）（2）（4）．

点评 本题考查了椭圆与双曲线标准方程图象及其性质，考查了分类讨论思想方法、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．