Question

4．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=2a，则该球的体积是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{27}$πa²
• B． $\frac{32\sqrt{2}}{27}$πa²
• C． $\frac{32\sqrt{3}}{27}$πa³
• D． $\frac{32\sqrt{3}}{9}$πa³

Answer 1

分析 由题意把三棱锥P-ABC扩展为三棱柱，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的体积．

解答 解：由题意画出几何体的图形如图，
把三棱锥P-ABC扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
PA=2AB=2a，OE=a，△ABC是正三角形，∴AB=a，
∴AE=$\frac{2}{3}\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴AO=$\sqrt{A{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴V_球=$\frac{4}{3}$π•$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{3}$=$\frac{32\sqrt{3}}{27}$πa³，
故选：C．

点评 本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．