Question

19．已知⊙C：（x-2）²+（y-2）²=1，直线l：4x+3y+8=0，已知P（x₀，y₀）是直线l上的动点，过P作⊙C的两条切线，切点为A，B．
（1）求AB所在直线方程；
（2）求四边形PACB面积的最小值；
（3）求△CAB面积的最大值．．

Answer 1

分析 （1）设出切点A，B，求出切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程，再代入P的坐标，即可得到切点弦AB的方程；
（2）运用切线的性质和四边形的面积求法，可得四边形PACB面积S=|PA|，再由勾股定理和C到直线的距离最小，计算即可得到；
（3）求出C到直线AB的距离d，运用弦长公式可得|AB|，再由P（x₀，y₀）在直线4x+3y+8=0上，得到d的范围，结合二次函数的最值，即可计算得到三角形CAB的面积的最大值．

解答 解：（1）设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
对（x-2）²+（y-2）²=1两边取x的导数，可得
2（x-2）+2（y-2）y′=0，即有y′=$\frac{x-2}{2-y}$，
对A，有y-y₁=$\frac{{x}_{1}-2}{2-{y}_{1}}$（x-x₁），
又（x₁-2）²+（y₁-2）²=1，
化简整理可得直线PA：（x-2）（x₁-2）+（y-2）（y₁-2）=1，
同理可得直线PB：（x-2）（x₂-2）+（y-2）（y₂-2）=1，
P（x₀，y₀）满足PA，PB的方程，可得（x₀-2）（x₁-2）+（y₀-2）（y₁-2）=1，
（x₀-2）（x₂-2）+（y₀-2）（y₂-2）=1，
即有直线AB的方程为得（x₀-2）（x-2）+（y₀-2）（y-2）=1，
即为（x₀-2）x+（y₀-2）y-2x₀-2y₀+7=0；
（2）由切线的性质可得AC⊥PA，BC⊥PB，
四边形PACB面积S=2×$\frac{1}{2}$|PA|r=|PA|，
由于|PA|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-1}$，要求|PA|的最小，只要求|PC|的最小值．
当PC⊥l时，|PC|最小，
且为$\frac{|4×2+3×2+8|}{\sqrt{16+9}}$=$\frac{22}{5}$，此时|PA|=$\frac{3\sqrt{51}}{5}$．
四边形PACB面积的最小值为$\frac{3\sqrt{51}}{5}$；
（3）C到直线AB的距离为d=$\frac{|2（{x}_{0}-2）+2（{y}_{0}-2）-2{x}_{0}-2{y}_{0}+7|}{\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+（{y}_{0}-2）^{2}}}$
=$\frac{1}{\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+（{y}_{0}-2）^{2}}}$，
|AB|=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$，
即有S_△CAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=d$\sqrt{1-{d}^{2}}$，
由P（x₀，y₀）在直线4x+3y+8=0上，
则有$\frac{1}{d}$≥$\frac{22}{5}$（C到直线l的距离），
则0＜d≤$\frac{5}{22}$，
由d$\sqrt{1-{d}^{2}}$=$\sqrt{{d}^{2}（1-{d}^{2}）}$=$\sqrt{-（{d}^{2}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$
则有d=$\frac{5}{22}$时，△CAB面积取得最大值，且为$\frac{15\sqrt{51}}{484}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查圆的切点弦方程的求法和四边形面积的最值及三角形面积的最值，注意运用切线的性质和勾股定理以及圆的弦长公式，属于中档题和易错题．