Question

14．以抛物线C：y²=2px的焦点F为圆心的圆，交C的准线l于P，Q两点，与C在第一象限内的交点为M，且Q，F，M三点共线．
（1）求直线QM的斜率；
（2）若△MPQ的面积为8$\sqrt{3}$，求圆F的方程．

Answer 1

分析 （1）如图所示，由Q，F，M三点共线，利用圆的性质、抛物线的定义可得：∠MPQ=90°，|MP|=$\frac{1}{2}|QM|$，可得∠MFx=60°，即可得出．
（2）由△MPQ的面积为8$\sqrt{3}$，可得$\frac{1}{2}|MP|•\sqrt{3}|MP|$=$8\sqrt{3}$，解得|MP|=4，利用p+$\frac{1}{2}|MF|$=4，即可得出p．

解答 解：（1）如图所示，
∵Q，F，M三点共线，
∴∠MPQ=90°，∴|MF|=|MP|，
∴|MP|=$\frac{1}{2}|QM|$，
∴∠PMQ=60°，
∴∠MFx=60°，
∴${k}_{QM}=tan6{0}^{°}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵△MPQ的面积为8$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}|MP|•\sqrt{3}|MP|$=$8\sqrt{3}$，
解得|MP|=4，
∴p+$\frac{1}{2}|MF|$=4，
∴p=2．
∴F（1，0），R=|MF|=4，
∴圆F的方程为（x-1）²+y²=16．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质、圆的性质、斜率计算公式、三角形的面积计算公式、含30°的直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．