Question

12．设抛物线C：y²=16x的焦点为F，点M在抛物线C上，若以MF为直径的圆过点A（0，2），则|MF|=5．

Answer 1

分析 设M$（\frac{{y}^{2}}{16}，y）$，根据以MF为直径的圆过点A（0，2），可得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AF}$=0，解得y即可得出．

解答 解：F（4，0），
设M$（\frac{{y}^{2}}{16}，y）$，∵以MF为直径的圆过点A（0，2），
∴AM⊥AF，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AF}$=$（\frac{{y}^{2}}{16}，y-2）$•（4，-2）=0，
∴$\frac{{y}^{2}}{4}-2（y-2）$=0，
解得y=4，
∴x_M=$\frac{{4}^{2}}{16}$=1，
∴|MF|=1+4=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了圆的性质、抛物线的定义及其性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．