Question

17．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为$\frac{80π}{3}$立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞5）千元．设该容器的建造费用为y千元．
（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆柱和球的体积的表达式，得到l和r的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的l用r表示．并注意到写定义域时，利用l≥2r，求出自变量r的范围．
（Ⅱ）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论．

解答 解：（Ⅰ）由体积V=$\frac{4}{3}\\;π{r}^{3}+π{r}^{2}l$πr³+πr²l=$\frac{80π}{3}$，解得l=$\frac{80-4{r}^{3}}{3{r}^{2}}$，
∴y=2πrl×3+4πr²×c=6πr×$\frac{80-4{r}^{3}}{3{r}^{2}}$+4cπr²
=2π•$\frac{80+（2c-4）{r}^{3}}{r}$，
又l≥2r，即$\frac{80-4{r}^{3}}{3{r}^{2}}$≥2r，解得0＜r≤2
∴其定义域为（0，2]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，y′=8π（c-2）r-$\frac{160π}{{r}^{2}}$，
=$\frac{8π（c-2）}{{r}^{2}}$（r³-$\frac{20}{c-2}$），0＜r≤2
由于c＞5，所以c-2＞0
当r³-$\frac{20}{c-2}$=0时，则r=$\root{3}{\frac{20}{c-2}}$
令$\root{3}{\frac{20}{c-2}}$=m，（m＞0）
所以y′=$\frac{8π（c-2）}{{r}^{2}}$（r-m）（r²+rm+m²）
①当0＜m＜2即c＞$\frac{9}{2}$时，
当r=m时，y′=0
当r∈（0，m）时，y′＜0
当r∈（m，2）时，y′＞0
所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2即3＜c≤$\frac{9}{2}$时，
当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．
所以r=2是函数y的最小值点．
综上所述，当3＜c≤$\frac{9}{2}$时，建造费用最小时r=2；
当c＞$\frac{9}{2}$时，建造费用最小时r=$\root{3}{\frac{20}{c-2}}$．

点评 利用导数的知识研究函数单调性，函数最值问题是高考经常考查的知识点，同时分类讨论的思想也蕴含在其中．