Question

9．如图，已知直线与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，且点D的坐标为（3，$\sqrt{3}$）．
（1）求p的值；
（2）若F为抛物线的焦点，M为抛物线上任意一点，求|MD|+|MF|的最小值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由AB⊥OD，k_OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．可得直线AB的斜率k=-$\sqrt{3}$．得到直线AB的方程为$y-\sqrt{3}=-\sqrt{3}（x-3）$，与抛物线方程联立化为3x²-（24+2p）x+48=0，利用根与系数的关系及其$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，解得p．
（2）过点M作直线的垂线MN，垂足为N，则|MF|=|MN|，则当N，M，D三点共线时，|MD|+|MF|取得最小值．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB⊥OD，k_OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线AB的斜率k=-$\sqrt{3}$．
∴直线AB的方程为$y-\sqrt{3}=-\sqrt{3}（x-3）$，化为$y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化为3x²-（24+2p）x+48=0，
∴x₁x₂=16，x₁+x₂=$\frac{24+2p}{3}$．
∴y₁y₂=$（-\sqrt{3}{x}_{1}+4\sqrt{3}）（-\sqrt{3}{x}_{2}+4\sqrt{3}）$=3[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]，
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=4x₁x₂-12（x₁+x₂）+48=0，
∴64-12×$\frac{24+2p}{3}$+48=0，
解得p=2．
（2）过点M作直线的垂线MN，垂足为N，则|MF|=|MN|，
∴当N，M，D三点共线时，|MD|+|MF|取得最小值，为$3+\frac{p}{2}$=4．

点评 本题查克拉抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．