Question

18．已知函数f（x）=x²+alnx的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率为10
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断方程f（x）=2x根的个数，证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），根据导数的几何意义和条件求出a的值；
（Ⅱ）由条件设g（x）=f（x）-2x，化简后求出函数g（x）的定义域，求出g′（x）后利用基本不等式判断出g′（x）＞0，再判断出g（x）的单调性，根据g（1）和g（e）的符号，判断出函数零点的个数，即可得到方程f（x）=2x根的个数．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=x²+alnx，则$f′（x）=2x+\frac{a}{x}$，
因为在点P（1，f（1））处的切线斜率为10，
所以f′（1）=2+a=10，解得a=8；
（Ⅱ）方程f（x）=2x有一个实数根，
由（Ⅰ）得，f（x）=x²+8lnx，
设g（x）=f（x）-2x=x²+8lnx-2x，且定义域是（0，+∞），
则$g′（x）=2x+\frac{8}{x}-2$≥2$\sqrt{2x•\frac{8}{x}}-2$=6＞0，
所以函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，
因为g（1）=1-2=-1＜0，g（e）=e²-2e+8＞0，
所以函数g（x）在（0，+∞）上有一个零点，
即方程f（x）=2x有一个实数根．

点评 本题考查求导公式和法则，导数的几何意义，导数与函数的单调性关系，以及方程的根与函数零点的相互转化，属于中档题．