Question

6．已知函数f（x）=$\frac{3}{x}$-x+alnx，且x=3是函数f（x）的一个极值点．
（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=f（x）-m，当函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数为0个，3个时，实数m的取值范围分别为多少？（参考数据：ln5≈1.61，ln3≈1.10）

Answer 1

分析 （1）由f（x）解析式求出导函数解析式，把x=3代入导函数解析式求出a的值即可；
（2）令导函数大于0求出x的范围，即为函数的增区间；令导函数小于0求出x的范围，即为函数的减区间；
（3）令g（x）=f（x）-m=0，得到f（x）=m，可得函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是y=f（x），x∈（0，5]与直线y=m交点的个数，根据x的范围，对应导函数的值，以及函数的值，列出表格，即可确定出零点的个数为0个，3个时，实数m的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{a}{x}$，
∵x=3是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（3）=0，即-$\frac{1}{3}$-1+$\frac{a}{3}$=0，
解得：a=4；
（2）由（1）知f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{4}{x}$，
令-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{4}{x}$＞0，解得：1＜x＜3，
令-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{4}{x}$＜0，及x＞0，解得：0＜x＜1或x＞3，
则当x∈（1，3）时，y=f（x）单调递增；当x∈（0，1）时，y=f（x）单调递减；当x∈（3，+∞）时，y=f（x）单调递减；
（3）令g（x）=f（x）-m=0，可得f（x）=m，
∴函数y=g（x）在区间（0，5]上零点的个数是y=f（x），x∈（0，5]与直线y=m交点的个数，
由下表：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，5）	5
f′（x）	_	0	+	0	_
f（x）	↘	极小值2	↗	极大值4ln3-2	↘	4ln5-$\frac{22}{5}$

注意到：4ln3-2＞4ln5-$\frac{22}{5}$＞2，
∴函数f（x）在（0，5]的最小值为2，无最大值，
结合大致图象可知：

当m＜2时，g（x）=f（x）-m的零点个数为0；
当m=2或m＞4ln3-2时，g（x）=f（x）-m的零点个数为1；
当2＜m＜4ln5-$\frac{22}{5}$或m=4ln3-2时，g（x）=f（x）-m的零点个数为2；
当4ln5-$\frac{22}{5}$≤m＜4ln3-2时，g（x）=f（x）-m的零点个数为3，
则零点的个数为0个，3个时，实数m的取值范围分别为m＜2；2.04≤m＜2.2．

点评 此题考查了利用导数研究函数的增减性，以及函数的零点判定定理，利用了数形结合的思想，导函数的性质为：当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．