Question

1．设函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$+ax-b，g（x）=2x，当x=1+$\sqrt{2}$时，f（x）取得极值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当x∈[-3，4]时，函数f（x）与g（x）的图象有三个公共点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据已知中函数的解析式，求出其导函数的解析式，利用函数在极值点的导数等于0，可求出a的值．
（II）设f（x）=g（x），则得$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x-b=0$．设$F（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x-b$，由F'（x）的符号判断函数F（x）的单调性和单调区间，从而求出F（x）的值域，由题意得，函数f（x）与g（x）的图象有3个公共点，从而得到b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意  f'（x）=x²-2x+a…2分
∵当$x=1+\sqrt{2}$时，f（x）取得极值，
∴所以 $f'（1+\sqrt{2}）=0$
∴${（{1+\sqrt{2}}）^2}-2（{1+\sqrt{2}}）+a=0$
∴即：a=-1…4分
（Ⅱ）由f（x）=g（x），得$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x-b=0$，设$F（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x-b$…5分，
则：F'（x）=x²-2x-3，令F'（x）=x²-2x-3=0，
解得x=-1或x=3，…6分
∴函数F（x）在（-3，-1）和（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数．
∴当x=-1时，F（x）有极大值$F（-1）=\frac{5}{3}-b$；当x=3时，F（x）有极小值F（3）=-9-b…10分，
∵函数f（x）与g（x）的图象在区间[-3，4]有三个公共点，
∴函数F（x）在区间[-3，4]有三个零点，…12分
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-9-b＜0}\\{-\frac{20}{3}-b≥0}\end{array}}\right.$解得$-9＜b≤-\frac{20}{3}$，
∴b的取值范围为$（-9，-\frac{20}{3}]$…14分．

点评 本题考查函数在极值点的导数等于0，利用导数的符号判断函数的单调性及单调区间、极值，求函数在闭区间上的值域，属于中档题．