Question

10．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃=2，S₅=a₇．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ）若a₄，a_4+m，a_4+n（m，n∈N^*）成等比数列，求n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设公差为d，利用a₃=2，S₅=a₇，建立方程组，求出a₁=-2，d=2，即可求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ）若a₄，a_4+m，a_4+n（m，n∈N^*）成等比数列，可得$n=\frac{1}{2}{（m+2）^2}-2$，考察函数$f（x）=\frac{1}{2}{（x+2）^2}-2$，知f（x）在（0，+∞）上单调递增，即可求n的最小值．

解答 解：（Ⅰ）设公差为d，
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=2\\ 5{a_1}+\frac{1}{2}×5×4d={a_1}+6d\end{array}\right.$…（4分）
解得a₁=-2，d=2，…（5分）
所以a_n=-2+（n-1）×2=2n-4，…（6分）
${S_n}=-2n+\frac{1}{2}n（n-1）×2={n^2}-3n$．                     …（7分）
（Ⅱ）因为a₄，a_4+m，a_4+n成等比数列，
所以$a_{4+m}^2={a_4}{a_{4+n}}$，…（9分）
即（2m+4）²=4（2n+4），…（10分）
化简，得$n=\frac{1}{2}{（m+2）^2}-2$，…（11分）
考察函数$f（x）=\frac{1}{2}{（x+2）^2}-2$，知f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又因为$f（1）=\frac{5}{2}$，f（2）=6，n∈N^*，
所以当m=2时，n有最小值6．                            …（13分）

点评 本题考查等差数列的通项与求和，考查等比数列的性质，确定数列的通项是关键．