Question

2．求函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），给出下列四个命题：
①存在α∈（-$\frac{π}{2}$，0）使f（α）=$\sqrt{2}$；
②存在α∈（0，$\frac{π}{2}$），使f（x-α）=f（x+α）恒成立；
③存在α∈R，使函数f（x+α）的图象关于坐标原点成中心对称；
④函数f（x）的图象关于直线x=-$\frac{3π}{4}$对称；
⑤函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位就能得到y=-2cosx的图象．
其中正确的序号是③④．

Answer 1

分析 利用正弦型函数的解析式，根据函数的性质逐一进行分析，或利用特殊值进行判定求出错误的命题，最终确定结果．

解答 解：函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），
则：①存在α∈（-$\frac{π}{2}$，0），
则：$-\frac{π}{4}＜α+\frac{π}{4}＜\frac{π}{4}$
所以：$-\sqrt{2}＜f（α）＜\sqrt{2}$
故：①错误．
②找不到任何一个α∈（0，$\frac{π}{2}$），使f（x-α）=f（x+α）恒成立；
故②错误．
③当$α=-\frac{π}{4}$时，函数的图象关于坐标原点对称．
故③正确．
④当x=-$\frac{3π}{4}$时，$f（-\frac{3π}{4}）=2sin（-\frac{3π}{4}+\frac{π}{4}$）=-2
函数达到最小值，所以函数f（x）的图象关于直线x=-$\frac{3π}{4}$对称；
故④正确．
⑤函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位就能得到，
y=2sin（x+$\frac{π}{2}$）=2cosx
故⑤错误．
故答案为：③④

点评 本题考查的知识要点：正弦型函数的图象和性质的应用，周期性和对称性图象的平移的应用．