Question

13．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，（sin\frac{π}{6}x≤\frac{1}{2}）}\\{sin\frac{π}{6}x，（sin\frac{π}{6}x＞\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$，g（x）=|x|+|6-x|，令F（x）=f（x）+g（x），若关于a的方程F（a²+a-1）=F（2a-m）有且仅有四个不等实根，则m的取值范围是（-$\frac{37}{4}，-4-\sqrt{17}）$$∪（-4-\sqrt{17}，\sqrt{17}-4）∪（\sqrt{17}-4$，$\frac{5}{4}）$．．

Answer 1

分析 根据f（x）的解析式结合正弦函数的周期性，得出f（x）的图象关于x=3对称，从而得出F（（x）的对称性，作出函数的图象即可得m的取值范围．

解答 解：sin$[\frac{π}{6}（6-x）]$=sin（$π-\frac{π}{6}x）$=sin$\frac{π}{6}x$
∴f（6-x）=f（x），
f（x）的图象关于x=3对称，
g（6-x）=g（x），
∴g（x）的图象关于x=3对称，
∴F（x）=f（x）+g（x）的图象关于x=3对称，即F（6-x）=F（x），
F（a²+a-1）=F（2a-m），
∴a²+a-1=2a-m或a²+a-1=6-（2a-m）
∴m=-a²+a+1或m=a²+3a-7，
要使方程有四个不等是跟，m的取值需要在C点以下，F点以上，且不包括：A（-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}，-4-\sqrt{17}）$，B（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}，\sqrt{17}-4）$处的函数值，
故m的取值范围是（-$\frac{37}{4}，-4-\sqrt{17}）$$∪（-4-\sqrt{17}，\sqrt{17}-4）∪（\sqrt{17}-4$，$\frac{5}{4}）$．

点评 本题主要考查函数的图象和性质，属于中档题．