Question

14．已知tanα=-$\frac{1}{3}$，求下列各式的值：
（1）$\frac{4sinα-2cosα}{5cosα+3sinα}$；
（2）2sin²α-$\frac{3}{2}$sinαcosα+5cos²α；
（3）$\frac{1}{1-sinαcosα}$．

Answer 1

分析 （1）分子分母同除以cosα，由同角三角函数关系式即可得解．
（2）由倍角公式和万能公式化简后结合已知即可得解．
（3）由倍角公式和万能公式化简后结合已知即可得解．

解答 解：∵tanα=-$\frac{1}{3}$，
（1）$\frac{4sinα-2cosα}{5cosα+3sinα}$=$\frac{4tanα-2}{5+3tanα}$=$\frac{4×（-\frac{1}{3}）-2}{5+3×（-\frac{1}{3}）}$=-$\frac{5}{6}$；
（2）∵sin2α=$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$，cos2α=$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$
∴2sin²α-$\frac{3}{2}$sinαcosα+5cos²α=1-cos2α-$\frac{3}{4}$sin2α+$\frac{5}{2}$（1+cos2α）=$\frac{7}{2}$-$\frac{3}{4}$sin2α+$\frac{3}{2}$cos2α=$\frac{7}{2}$-$\frac{3}{4}$×（-$\frac{3}{5}$）+$\frac{3}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{103}{20}$；
（3）$\frac{1}{1-sinαcosα}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}sin2α}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}×\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{10}{13}$．

点评 本题主要考查了倍角公式，万能公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．