Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n（n∈N^*）
（1）求a₂、a₃、a₄的值；
（2）推出数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n（n∈N^*），分别令n=2，3，4，即可得出a₂，a₃，a₄．
（2）由（1）猜想：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）∵a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n（n∈N^*），
分别令n=2，3，4，可得a₂=$\frac{1}{6}$，a₃=$\frac{1}{12}$，a₄=$\frac{1}{20}$．
（2）由（1）猜想：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
下面用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{1×（1+1）}$=$\frac{1}{2}$成立；
（ii）假设当n=k时，${a}_{k}=\frac{1}{k（k+1）}$，
则n=k+1，S_k+1=（k+1）²a_k+1，∴a_k+1=（k+1）²a_k+1-k²a_k，
∴a_k+1=$\frac{{k}^{2}{a}_{k}}{{k}^{2}+2k}$=$\frac{k×\frac{1}{k（k+1）}}{k+2}$=$\frac{1}{（k+1）（k+1+1）}$，成立．
综上可得：${a}_{n}=\frac{1}{n（n+1）}$．n∈N^*．

点评 本题考查了数列的递推式、数学归纳法、观察分析猜想归纳的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．