Question

20．观察以下含有*的两个式子：
1*1=2
（n+1）*1=1（n*1），n∈N₊
根据以上规律，若数列{b_n}的前n项和S_n=n²，若对任意正整数n，使得不等式$\frac{{b}_{n}}{n*1}＜\frac{3}{8}lo{g}_{2}（x+1）$恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 由新定义求得n*1=2，再由数列{b_n}的前n项和S_n=n²求出数列通项公式，代入不等式$\frac{{b}_{n}}{n*1}＜\frac{3}{8}lo{g}_{2}（x+1）$，整理后得到$lo{g}_{2}（x+1）＞\frac{4}{3}（2n-1）$，由函数f（n）=$\frac{4}{3}（2n-1）$为增函数，可知其无最大值，从而得到满足不等式$\frac{{b}_{n}}{n*1}＜\frac{3}{8}lo{g}_{2}（x+1）$恒成立的实数x值不存在．

解答 解：∵1*1=2，且（n+1）*1=1（n*1），
∴n*1=2，
对于数列{b_n}，由其前n项和S_n=n²，得a₁=S₁=1；
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}-（n-1）^{2}=2n-1$．
当n=1时，上式成立，
∴b_n=2n-1，
则不等式$\frac{{b}_{n}}{n*1}＜\frac{3}{8}lo{g}_{2}（x+1）$恒成立可化为$\frac{2n-1}{2}$$＜\frac{3}{8}lo{g}_{2}（x+1）$恒成立，
即$lo{g}_{2}（x+1）＞\frac{4}{3}（2n-1）$恒成立，
∵函数f（n）=$\frac{4}{3}（2n-1）$为增函数，无最大值，
∴使$lo{g}_{2}（x+1）＞\frac{4}{3}（2n-1）$对于任意正整数n恒成立的x值不存在．

点评 本题是新定义题，考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．