Question

15．已知数列{b_n}满足3（n+1）b_n=nb_n+1，且b₁=3．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）已知$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n+1}{2n+3}$，求证：$\frac{5}{6}$≤$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1$\end{array}$．

Answer 1

分析 （1）由于$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}=3\frac{{b}_{n}}{n}$，令${c}_{n}=\frac{{b}_{n}}{n}$，则{c_n}是等比数列，故b_n=n3ⁿ；
（2）由$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n+1}{2n+3}$，可知a_n=$\frac{n+1}{2n+3}{b}_{n}$，将$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n×{3}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）×{3}^{n}}$放大至$\frac{1}{（n-1）×{3}^{n-1}}$-$\frac{1}{n×{3}^{n}}$ （n＞1），$\frac{1}{{a}_{1}}$放大至1-$\frac{1}{3}$，相加即可$\end{array}$．

解答 （1）解：∵3（n+1）b_n=nb_n+1，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}=3\frac{{b}_{n}}{n}$，
令${c}_{n}=\frac{{b}_{n}}{n}$，则c₁=$\frac{{b}_{1}}{1}$=3，$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=3，
所以{c_n}是以首项为3，公比也为3的等比数列，
从而c_n=3ⁿ，
故b_n=nc_n=n3ⁿ；
（2）证明：由（1）及$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n+1}{2n+3}$，可知a_n=$\frac{n+1}{2n+3}{b}_{n}$，
所以$\frac{n+1}{2n+3}{b}_{n}$=$\frac{n（n+1）}{2n+3}×{3}^{n}$，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}×\frac{2n+3}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{n×{3}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）×{3}^{n}}$
＜$\frac{1}{（n-1）×{3}^{n-1}}$-$\frac{1}{n×{3}^{n}}$，
显然$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{2+3}{3×2}$=$\frac{5}{6}$；
另一方面$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{{a}_{1}}$+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{2×{3}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{（n-1）×{3}^{n-1}}$-$\frac{1}{n×{3}^{n}}$）
＜1-$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{2×{3}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{（n-1）×{3}^{n-1}}$-$\frac{1}{n×{3}^{n}}$）
=1-$\frac{1}{n×{3}^{n}}$＜1$\end{array}$．
综上，$\frac{5}{6}$≤$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1$\end{array}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”以及放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．