Question

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线与射线y=$\sqrt{3}$x（x≥0）交于点Q，其中α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）若sinα=$\frac{1}{3}$，求cos∠POQ；
（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根据函数的图象求出角的正弦值和余弦值，进一步求出结果．
（Ⅱ）利用三角函数的恒等变换，进一步求出函数的正弦形式，最后求出函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）如图所示：∠MOQ=$\frac{π}{3}$，
所以：$∠POQ=\frac{π}{3}-α$，
由于：sinα=$\frac{1}{3}$$\begin{array}{c}，\end{array}\right.$$α∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，
所以：$cosα=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
cos∠POQ=cos（$\frac{π}{3}-α$）=$cos\frac{π}{3}cosα+sin\frac{π}{3}sinα$=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$．
（Ⅱ）由于P（cosα，sinα），
所以：Q（cosα，$\sqrt{3}$cosα），
则${S}_{△POQ}=\frac{1}{2}|cosα||\sqrt{3}cosα-sinα|$
=$\frac{1}{2}|\sqrt{3}{cos}^{2}α-sinαcosα|$
=$\frac{1}{2}|\frac{\sqrt{3}}{2}cos2α-\frac{sin2α}{2}|$
=$\frac{1}{2}|sin（\frac{π}{3}-α）+\frac{\sqrt{3}}{2}$|
$≤\frac{1}{2}|\frac{\sqrt{3}}{2}+1|=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}$，
所以：△POQ面积的最大值为：$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的最值问题及相关的运算．