Question

9．已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为q，前n项和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和是（　　）

• A． $\frac{1}{S}$
• B． $\frac{1}{{q}^{n}S}$
• C． $\frac{S}{{q}^{n-1}}$
• D． $\frac{{q}^{n}}{S}$

Answer 1

分析 对q分类讨论，利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：∵等比数列{a_n}的首项为1，公比为q，
∴当q=1时，a_n=1，S=n，∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和=n=S．
当q≠1时，${a}_{n}={q}^{n-1}$，S=$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{q}^{n-1}}$．
数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和=1+$\frac{1}{q}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$+…+$\frac{1}{{q}^{n-1}}$=$\frac{1-（\frac{1}{q}）^{n}}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{1-{q}^{n}}{{q}^{n-1}（1-q）}$=$\frac{S}{{q}^{n-1}}$，
当q=1时，$\frac{S}{{q}^{n-1}}$=S．
综上可得：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和是$\frac{S}{{q}^{n-1}}$．
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．