Question

14．已知函数f（x）=a²x²+ax-lnx．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=a²x²-f（x），且函数g（x）在点x=1处的切线为l，直线l′∥l，且l′在y轴上的截距为1．求证：无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导并化简f′（x）=2a²x+a-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2ax-1）（ax+1）}{x}$，从而由导数确定函数的单调区间；
（Ⅱ）化简g（x）=a²x²-f（x）=lnx-ax，再求导g′（x）=$\frac{1}{x}$-a，从而根据题意写出直线l′的方程y=（1-a）x+1；令F（x）=（1-a）x+1-g（x）=（1-a）x+1-（lnx-ax）=x+1-lnx，从而转化为证明F（x）＞0在定义域上恒成立即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2a²x+a-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2ax-1）（ax+1）}{x}$，
故当a＞0时，
x∈（0，$\frac{1}{2a}$）时，f′（x）＜0，当x∈（$\frac{1}{2a}$，+∞）时，f′（x）＞0；
故函数f（x）的单调减区间为（0，$\frac{1}{2a}$），单调增区间为（$\frac{1}{2a}$，+∞）；
（Ⅱ）证明：g（x）=a²x²-f（x）=lnx-ax，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
g′（1）=1-a；
∵函数g（x）在点x=1处的切线为l，直线l′∥l，
∴直线l′的斜率为g′（1）=1-a，
又∵l′在y轴上的截距为1，
∴直线l′的方程y=（1-a）x+1；
令F（x）=（1-a）x+1-g（x）
=（1-a）x+1-（lnx-ax）
=x+1-lnx，
F′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$；
故F（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
故F（x）≥F（1）=1+1-0=2；
故（1-a）x+1＞g（x）恒成立，
即无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题转化为最值问题的应用，属于中档题．