已知抛物线C:y2=2px.M点的坐标为.N点在抛物线C上.且满足$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OM}$.O为坐标原点．(Ⅰ)求抛物线C的方程,(Ⅱ)以点M为起点的任意两条射线l1.l2.关于直线l:y=x-4对称.并且l1与抛物线C交于A.B两点.l2与抛物线C交于D.E两点.线段AB.DE的中点分别为G.H两点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），M点的坐标为（12，8），N点在抛物线C上，且满足$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OM}$，O为坐标原点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）以点M为起点的任意两条射线l₁，l₂，关于直线l：y=x-4对称，并且l₁与抛物线C交于A，B两点，l₂与抛物线C交于D，E两点，线段AB，DE的中点分别为G，H两点，当直线l₁的倾斜角在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]内时，求直线GH被抛物线截得的弦长的最大值？

分析（I）由M点的坐标为（12，8），且满足$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OM}$，利用向量的线性运算可得点N的坐标，代入抛物线方程即可得出p；
（II）设直线l₁的方程为：x=12+m（y-8），则直线l₂的方程为：x=12=$\frac{1}{m}（y-8）$．分别与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用中点坐标公式可得：₂=4m₁，可得线段AB的中点G（2m²-8m+12，2m），线段DE的中点H$（\frac{2}{{m}^{2}}-\frac{8}{m}+12，\frac{2}{m}）$．直线GH的方程为：y-2m=$\frac{m}{{m}^{2}-4m+1}$（x-2m²+8m-12），与抛物线方程联立可得my²-4（m²-4m+1）y-40m=0，利用根与系数的关系可得弦长，通过换元利用基本不等式的性质、二次函数的单调性即可得出．

解答解：（I）∵M点的坐标为（12，8），且满足$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OM}$，
∴$\overrightarrow{ON}=\frac{3}{4}（12，8）=（9，6）$．
∵点N点在抛物线C上，∴6²=2p×9，解得p=2．
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（II）设直线l₁的方程为：x=12+m（y-8），则直线l₂的方程为：x=12=$\frac{1}{m}（y-8）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=12+m（y-8）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为y²-4m₁y+32m₁-48=0，
∴y₁+y₂=4m₁，可得线段AB的中点G（2m²-8m+12，2m），
同理可得：线段DE的中点H$（\frac{2}{{m}^{2}}-\frac{8}{m}+12，\frac{2}{m}）$．
直线GH的方程为：y-2m=$\frac{m}{{m}^{2}-4m+1}$（x-2m²+8m-12），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-2m=\frac{m}{{m}^{2}-4m+1}（x-2{m}^{2}+8m-12）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
化为my²-4（m²-4m+1）y-40m=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4（{m}^{2}-4m+1）}{m}$，y₁y₂=-40．
∴弦长=$\sqrt{（1+\frac{（{m}^{2}-4m+1）^{2}}{{m}^{2}}）[\frac{16（{m}^{2}-4m+1）^{2}}{{m}^{2}}+160]}$，
当直线l₁的倾斜角在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]内时，斜率k∈$[\frac{\sqrt{3}}{3}，1]$，m∈$[1，\sqrt{3}]$．
令$（\frac{{m}^{2}-4m+1}{m}）^{2}$=t，
则t=$（m+\frac{1}{m}-4）^{2}$≤（2-4）²=4，
∴弦长≤$\sqrt{（1+4）[4×16+160]}$=$4\sqrt{70}$．
∴当m=1，即l₁的倾斜角为$\frac{π}{4}$时，弦长取得最大值为：4$\sqrt{70}$．

点评本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性、向量的线性运算，考查了换元方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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已知，则______.