Question

10．在复平面中曲线y=x²上有点B₁，B₂，…，B_n，在实轴上有点A₁，A₂，…，A_n；其中A₁（1，0）…，A_n（x_n，0）…，且x_n≤1，线段A_nB_n（n=1，2，3，…）都与y轴平行，A_n+1B_n斜率为2x_n（n=1，2，3，…）．求：
（1）|$\overrightarrow{{B}_{1}A{\;}_{2}}$+$\overrightarrow{B{\;}_{2}A{\;}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{B}_{n}A{\;}_{n+1}}$|=f（n）的表达式；
（2）并计算$\underset{lim}{n→∞}$[f（n）]²．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：x₁=1，${B}_{n}（{x}_{n}，{x}_{n}^{2}）$，A_n+1（x_n+1，0），利用斜率计算公式可得：A_n+1B_n斜率2x_n=$\frac{{x}_{n}^{2}}{{x}_{n}-{x}_{n+1}}=2{x}_{n}$，化为${x}_{n+1}=\frac{1}{2}{x}_{n}$，利用等比数列的通项公式可得x_n．于是$\overrightarrow{{B}_{n}{A}_{n+1}}$=$（{x}_{n+1}-{x}_{n}，-{x}_{n}^{2}）$，再利用向量的坐标运算、等比数列的前n项和公式可得：$\overrightarrow{{B}_{1}A{\;}_{2}}$+$\overrightarrow{B{\;}_{2}A{\;}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{B}_{n}A{\;}_{n+1}}$．
（2）利用数列极限运算性质即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：x₁=1，${B}_{n}（{x}_{n}，{x}_{n}^{2}）$，A_n+1（x_n+1，0），∴A_n+1B_n斜率2x_n=$\frac{{x}_{n}^{2}}{{x}_{n}-{x}_{n+1}}=2{x}_{n}$，化为${x}_{n+1}=\frac{1}{2}{x}_{n}$，
∴数列{x_n}是等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{2}$，∴${x}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
$\overrightarrow{{B}_{n}{A}_{n+1}}$=$（{x}_{n+1}-{x}_{n}，-{x}_{n}^{2}）$，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}A{\;}_{2}}$+$\overrightarrow{B{\;}_{2}A{\;}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{B}_{n}A{\;}_{n+1}}$=$（{x}_{n+1}-{x}_{1}，-{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}-…-{x}_{n}^{2}）$=$（\frac{1}{{2}^{n}}-1，-\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}）$=$（\frac{1}{{2}^{n}}-1，\frac{4}{3}（\frac{1}{{4}^{n}}-1））$，
∴f（n）=$\sqrt{（\frac{1}{{2}^{n}}-1）^{2}+\frac{16}{9}（\frac{1}{{4}^{n}}-1）^{2}}$，
（2）$\underset{lim}{n→∞}$[f（n）]²=1+$\frac{16}{9}$=$\frac{25}{9}$．

点评 本题考查了斜率计算公式、向量坐标运算、等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于难题．