Question

2．已知tanα、tanβ为是于x的方程x²+px+q=0的两根，则sin²（α+β）+psin（α+β）cos（α+β）+qcos²（α+β）的值为q．

Answer 1

分析 因为tanα，tanβ是方程x²+px+q=0的两根，所以根据根与系数的关系求出tanα+tanβ和tanαtanβ的值，然后利用两角和正切函数公式求出tan（α+β）的值，把所求的式子提取cos²（α+β）=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}（α+β）}$后得到关于tan（α+β）的关系式，把tan（α+β）的值代入即可求出值．

解答 解：（1）由韦达达定理知$\left\{\begin{array}{l}{tanα+tanβ=-p}\\{tanα•tanβ=q}\end{array}\right.$，又tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=-$\frac{p}{1-q}$，
∴sin²（α+β）+psin（α+β）cos（α+β）+qcos²（α+β）
cos²（α+β）[tan²（α+β）+ptan（α+β）+q]
=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}（α+β）}$[tan²（α+β）+ptan（α+β）+q]
=$\frac{1}{1+\frac{{p}^{2}}{（q-1）^{2}}}$[$\frac{{p}^{2}}{（q-1）^{2}}$+$\frac{{p}^{2}}{q-1}$+q]
=$\frac{q（1+{p}^{2}+{q}^{2}-2q）}{1+{p}^{2}+{q}^{2}-2q}$
=q．
故答案为：q．

点评 考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用韦达定理解决数学问题，属于中档题．