Question

11．设O为△ABC内一点，记α=$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△ABC}}$，β=$\frac{{S}_{△COA}}{{S}_{△ABC}}$，γ=$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}$，证明：α$\overrightarrow{OA}$+β$\overrightarrow{OB}$+γ$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 过O分别作AC，AB的平行线OD，OE，分别交AB于D，交AC于E，则β=$\frac{{S}_{△COA}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AB}$，γ=$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AE}{AC}$，利用α+β+γ=1，$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$，即可证明结论．

解答 证明：过O分别作AC，AB的平行线OD，OE，分别交AB于D，交AC于E，则
β=$\frac{{S}_{△COA}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AB}$，γ=$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$=$\frac{AD}{AB}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{AE}{AC}$•$\overrightarrow{AC}$=$β\overrightarrow{AB}+γ\overrightarrow{AC}$=$β\overrightarrow{OB}+γ\overrightarrow{OC}$$-（β+γ）\overrightarrow{OA}$，
∵α+β+γ=1，
∴α$\overrightarrow{OA}$+β$\overrightarrow{OB}$+γ$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．

点评 本题考查向量在几何中的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．