Question

19．已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为5，且与直线4x+3y+17=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设点P（-1，$\frac{3}{2}$），过点p作直线l与圆C交于A，B两点，若AB=8，求直线l的方程；
（3）设P是直线x+y+6=0上的点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B．求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）设出圆心，运用直线和圆相切的条件：d=r，计算可得圆的方程；
（2）设出直线l的方程，注意讨论斜率是否存在，再由点到直线的距离公式和弦长公式，计算即可得到直线方程；
（3）设出P的坐标，根据切线的性质，可得经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆，求得圆的方程，运用曲线系恒过定点的方法整理，解方程即可得到所有定点．

解答 （1）解：设圆心C（a，0），（a＞0），
则由直线和圆相切的条件：d=r，
可得$\frac{|4a+0+17|}{\sqrt{16+9}}$=5，解得a=2（负值舍去），
即有圆C的方程为（x-2）²+y²=25；
（2）解：若直线l的斜率不存在，即l：x=-1，
代入圆的方程可得，y=±4，即有|AB|=8，成立；
若直线l的斜率存在，可设直线l：y-$\frac{3}{2}$=k（x+1），
即为2kx-2y+3+2k=0，
圆C到直线l的距离为d=$\frac{|4k-0+3+2k|}{\sqrt{4{k}^{2}+4}}$=$\frac{|6k+3|}{\sqrt{4{k}^{2}+4}}$，
由AB=8，即有2$\sqrt{25-{d}^{2}}$=8，
即有d=3，即$\frac{|6k+3|}{\sqrt{4{k}^{2}+4}}$=3，
解得k=$\frac{3}{4}$，
则直线l的方程为3x-4y+9=0；
（3）证明：由于P是直线x+y+6=0上的点，
设P（m，-m-6），
由切线的性质可得AC⊥PA，
经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆，
则方程为（x-2）（x-m）+y（y+m+6）=0，
整理可得（x²+y²-2x+6y）+m（y-x+2）=0，
可令x²+y²-2x+6y=0，且y-x+2=0，
解得x=2，y=0，或x=-2，y=-4．
则有经过A，P，C三点的圆必过定点，
所有定点的坐标为（2，0），（-2，-4）．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查相交和相切的关系，同时考查点到直线的距离公式和弦长公式、切线的性质和圆恒过定点的问题，属于中档题．