Question

19．已知锐角α满足$\sqrt{3}$sinα+cosα=$\frac{8}{5}$，则tan（$α+\frac{π}{6}$）=（　　）

• A． -$\frac{4}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $±\frac{4}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由两角和与差的三角函数公式可得sin（$α+\frac{π}{6}$），再由同角三角函数的基本关系可得cos（$α+\frac{π}{6}$），相除可得答案．

解答 解：∵锐角α满足$\sqrt{3}$sinα+cosα=$\frac{8}{5}$，可得α$＜\frac{π}{4}$
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα=$\frac{4}{5}$，
∴sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴0＜$α+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
∴cos（$α+\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-{sin}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{3}{5}$，
∴tan（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{sin（α+\frac{π}{6}）}{cos（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{4}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．