Question

4．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，AM⊥了，BN⊥l，M，N为垂足，点Q是MN的中点，|QF|=2，则p=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，由|QF|=2求出|AB|的长度，联立过焦点的直线方程与抛物线方程，由弦长公式求出弦长，则p的值可求．

解答 解：如图，

由抛物线的几何性质可得，以AB为直径的圆与准线l相切，且切点为Q，
△MFN是以∠MFN为直角的直角三角形，
则|MN|=2|QF|=4，即|BD|=4，∴|AB|=$\frac{|BD|}{sin60°}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y-0=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，得12x²-20px+3p=0．
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{20}{12}p=\frac{5}{3}p$，
∴|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=\frac{5}{3}p+p=\frac{8}{3}p$，
∴$\frac{8}{3}p=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，则p=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．