Question

3．已知函数{a_n}满足：a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…）．
（1）若a₁=2，a₂=5，a₄=11，求a₃的值．
（2）若a₁=a₂₀₁₅=a，证明：a_k+1-a_k≥$\frac{{a}_{k+1}-a}{k}$且a_k≤a，（k=1，2，…，2015）

Answer 1

分析 （1）根据题意可得a₃≥2a₂-a₁=8，a₄≥2a₃-a₂≥11，又a₄=11，易得a₃=8．
（2）由已知条件知a₂₀₁₅-a₂₀₁₄≥a₂₀₁₄-a₂₀₁₃≥…≥a₃-a₂≥a₂-a₁，后k项相加后化简即得a_k+1-a_k≥$\frac{{a}_{k+1}-a}{k}$；后k-1项相加，得（k-1）（a_k-a_k-1）≥a_k-a₁，从而$\frac{{a}_{2015}-{a}_{k}}{2015-k}$≥a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1≥$\frac{{a}_{k}-{a}_{1}}{k-1}$，化简得${a}_{k}≤\frac{k-1}{2014}{a}_{2015}+\frac{2015-k}{2014}{a}_{1}$，又a₁=a₂₀₁₅=a，从而${a}_{k}≤\frac{k-1}{2014}a+\frac{2015-k}{2014}a$=a．

解答 （1）解：由已知条件知a_k+1≥2a_k-a_k-1（k=2，3，…），
又a₁=2，a₂=5，
从而a₃≥2a₂-a₁=8，
a₄≥2a₃-a₂≥11，
又a₄=11，
所以2a₃-a₂=11，
解得a₃=8．
（2）证明：由已知条件知a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1（k=2，3，…），
则a₂₀₁₅-a₂₀₁₄≥a₂₀₁₄-a₂₀₁₃≥…≥a₃-a₂≥a₂-a₁，
前2015-k项相加，得a₂₀₁₅-a_k=a-a_k≥（2015-k）（a_k+1-a_k），
后k项相加，得k（a_k+1-a_k）≥a_k+1-a₁=a_k+1-a，
从而a_k+1-a_k≥$\frac{{a}_{k+1}-a}{k}$ （k=1，2，…，2015）．
后k-1项相加，得（k-1）（a_k-a_k-1）≥a_k-a₁，
从而$\frac{{a}_{2015}-{a}_{k}}{2015-k}$≥a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1≥$\frac{{a}_{k}-{a}_{1}}{k-1}$，
则（k-1）a₂₀₁₅-（k-1）a_k≥（2015-k）a_k-（2015-k）a₁，
即（k-1）a₂₀₁₅+（2015-k）a₁≥2014a_k，
所以${a}_{k}≤\frac{k-1}{2014}{a}_{2015}+\frac{2015-k}{2014}{a}_{1}$，
又∵a₁=a₂₀₁₅=a，
∴${a}_{k}≤\frac{k-1}{2014}a+\frac{2015-k}{2014}a$=a （k=1，2，…，2015）．

点评 本题是数列与函数、不等式相结合的综合题，难度较大，考查了分析问题与解决问题的能力．