Question

18．已知函数f（x）对任意实数a、b，都有f（ab）=f（a）+f（b）成立．
（1）求f（0）与f（1）的值；
（2）求证：f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（3）若f（2）=p，f（3）=q（p，q均为常数），求f（36）的值．

Answer 1

分析 （1）分别令a=b=0和a=b=1，即可求f（0）与f（1）的值；
（2）根据条件即可证明f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（3）根据抽象函数的关系进行转化即可求f（36）的值．

解答 解：（1）∵f（ab）=f（a）+f（b），
∴令a=b=0，则f（0）=f（0）+f（0），
即f（0）=0，
令a=b=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
即f（1）=0；
证明：（2）∵$\frac{1}{x}$•x=1，
∴f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=f（$\frac{1}{x}$•x）=f（1）=0，
则f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（3）若f（2）=p，f（3）=q（p，q均为常数），
则f（2）+f（3）=f（2×3）=f（6），
即f（6）=p+q，
则f（36）=f（6×6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2p+2q．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键．注意条件之间的转化和应用．