Question

10．已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足$\sqrt{3}$tanA•tanB-（tanA+tanB）=$\sqrt{3}$，且c=$\sqrt{3}$．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用两角和差的正切公式求得△ABC中，tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$，再由诱导公式、三角形内角和公式求得tanC=$\sqrt{3}$，从而求得C 的值．
（2）由三角形任意两边之和大于第三边，以及a+b=2sinA+2sinB=2$\sqrt{3}$cos$\frac{A-B}{2}$≤2$\sqrt{3}$，求得△ABC周长a+b+c的取值范围．

解答 解：（1）∵已知△ABC中，$\sqrt{3}$tanA•tanB-（tanA+tanB）=$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$tanA•tanB-tan（A+B）（1-tanAtanB）=$\sqrt{3}$，
即 $\sqrt{3}$tanA•tanB+tanC（1-tanAtanB）=$\sqrt{3}$，即 $\sqrt{3}$tanA•tanB+tanC-tanAtanBtanC=$\sqrt{3}$．
再由△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC 可得，tanA+tanB=$\sqrt{3}$（tanA•tanB-1），
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$=-tanC，
∴tanC=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$．
 （2）由于c=$\sqrt{3}$．
由于三角形任意两边之和大于第三边，∴a+b＞c=$\sqrt{3}$，
故△ABC周长大于2$\sqrt{3}$．
再由a+b=2sinA+2sinB=2（sinA+sinB）=2×2sin$\frac{A+B}{2}$•cos$\frac{A-B}{2}$ 
=4sin$\frac{π}{3}$•cos$\frac{A-B}{2}$=2$\sqrt{3}$cos$\frac{A-B}{2}$≤2$\sqrt{3}$，（当且仅当A=B时，取等号）．
可得三角形的周长 a+b+c≤2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
故△ABC周长的取值范围为（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查两角和差的正切公式，诱导公式以及正弦定理的应用，属于中档题．