Question

2．若关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-x-2≤0}\\{{x}^{2}-x≥a（1-x）}\end{array}\right.$的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意，关于x的不等式组中两个不等式的解集都为R，由此求出实数a的取值范围．

解答 解：∵关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-x-2≤0}\\{{x}^{2}-x≥a（1-x）}\end{array}\right.$的解集为R，
∴不等式ax²-x-2≤0恒成立，
即△=1-4a•（-2）≤0，
解得a≤-$\frac{1}{8}$；①
不等式x²-x≥a（1-x）也恒成立，
即x²-（1-a）x-a≥0，
∴△=（1-a）²-4×（-a）≤0，
即a²+2a+1≤0，
∴a=-1；②
由①、②知，实数a的取值范围是{a|a=-1}．

点评 本题考查了不等式的解法和应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题目．